Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание № 719
i

Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния 5 минус \ctg82 гра­ду­сов30' плюс ко­рень из 2 минус ко­рень из 3 плюс ко­рень из 6 .

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Пре­об­ра­зу­ем тан­генс: \ctg82 гра­ду­сов30'=\ctg левая круг­лая скоб­ка 82,5 гра­ду­сов пра­вая круг­лая скоб­ка =\ctg левая круг­лая скоб­ка 90 гра­ду­сов минус 7,5 гра­ду­сов пра­вая круг­лая скоб­ка = тан­генс 7,5 гра­ду­сов.

Вос­поль­зу­ем­ся фор­му­лой  тан­генс альфа = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: дробь: чис­ли­тель: 1 минус ко­си­нус 2 альфа , зна­ме­на­тель: 1 плюс ко­си­нус 2 альфа конец дроби конец ар­гу­мен­та :  тан­генс 7,5 гра­ду­сов= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: дробь: чис­ли­тель: 1 минус ко­си­нус 15 гра­ду­сов, зна­ме­на­тель: 1 плюс ко­си­нус 15 гра­ду­сов конец дроби конец ар­гу­мен­та .

В свою оче­редь,

 ко­си­нус 15 гра­ду­сов= ко­си­нус левая круг­лая скоб­ка 45 гра­ду­сов минус 30 гра­ду­сов пра­вая круг­лая скоб­ка = ко­си­нус 45 гра­ду­сов ко­си­нус 30 гра­ду­сов плюс синус 45 гра­ду­сов синус 30 гра­ду­сов= дробь: чис­ли­тель: ко­рень из 6 плюс ко­рень из 2 , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби .

По­это­му:

 тан­генс 7,5 гра­ду­сов= ко­рень из д робь: чис­ли­тель: 4 минус ко­рень из 6 минус ко­рень из 2 , зна­ме­на­тель: 4 плюс ко­рень из 6 плюс ко­рень из 2 конец дроби

До­мно­жим чис­ли­тель и зна­ме­на­тель на 4 минус левая круг­лая скоб­ка ко­рень из 6 плюс ко­рень из 2 пра­вая круг­лая скоб­ка . Тогда:  ко­рень из д робь: чис­ли­тель: левая круг­лая скоб­ка 4 минус ко­рень из 6 минус ко­рень из 2 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: левая круг­лая скоб­ка 4 плюс ко­рень из 6 плюс ко­рень из 2 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка 4 минус левая круг­лая скоб­ка ко­рень из 6 плюс ко­рень из 2 пра­вая круг­лая скоб­ка пра­вая круг­лая скоб­ка конец дроби .

 

Так как  ко­рень из 6 мень­ше ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 6,25 конец ар­гу­мен­та =2,5, ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та мень­ше ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2,25 конец ар­гу­мен­та =1,5, имеем 4 минус ко­рень из 6 минус ко­рень из 2 боль­ше 0, тогда |4 минус ко­рень из 6 минус ко­рень из 2 |=4 минус ко­рень из 6 минус ко­рень из 2 .

 

За­ме­тим, что в зна­ме­на­те­ле 4 в квад­ра­те минус левая круг­лая скоб­ка ко­рень из 6 плюс ко­рень из 2 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те =16 минус 6 минус 2 минус 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 12 конец ар­гу­мен­та =8 минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 12 конец ар­гу­мен­та =6 минус 2 ко­рень из 6 ко­рень из 2 плюс 2= левая круг­лая скоб­ка ко­рень из 6 минус ко­рень из 2 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те . По­это­му  ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 8 минус 2 ко­рень из 1 2 конец ар­гу­мен­та }=| ко­рень из 6 минус ко­рень из 2 |= ко­рень из 6 минус ко­рень из 2 . Тогда:

 дробь: чис­ли­тель: 4 минус ко­рень из 6 минус ко­рень из 2 , зна­ме­на­тель: ко­рень из 6 минус ко­рень из 2 конец дроби = ко­рень из 6 плюс ко­рень из 2 минус ко­рень из 3 минус 2.

Тогда, под­став­ляя в ис­ход­ное вы­ра­же­ние: 5 минус ко­рень из 6 минус ко­рень из 2 плюс ко­рень из 3 плюс 2 плюс ко­рень из 2 минус ко­рень из 3 плюс ко­рень из 6 =7.

 

Ответ: 7.


Аналоги к заданию № 209: 689 719 749 ... Все

Источник: Цен­тра­ли­зо­ван­ное те­сти­ро­ва­ние по ма­те­ма­ти­ке, 2014
Сложность: IV